#範例8-2：二階常係數齊性ODE的解法(二)--重根
# ode ： y''(x) + 4y'(x) +4y = 0
#邊界條件或起始條件：y(0) =1, y'(0) =2
#語法：dsolve(eq, f(x), ics={y(0):1,y(x).diff(x).subs(x,0):2}) 
#所解出的原方程式：  y(x) = (4*x + 1)*exp(-2*x)
from sympy import *
x = symbols('x')
y = Function('y')(x)
#注意：ode是個方程式，不是函數
ode = Eq(y.diff(x,2) + 4*y.diff(x) + 4*y, 0)
ans = dsolve(ode, y, ics={y.subs(x,0):1, y.diff(x).subs(x,0):2})
print('二階ode的解：', ans.args[0],'=',ans.args[1])

#畫圖y(x)
plot(ans.args[1],(x,-1, 5), line_color='red')