#範例5-3：求二階導數，判別反曲點，判別線型凹凸
#求 y= 3*x^2 + 2x + 5的二次微分
from sympy import *
x = symbols('x')
f = Function('y')(x)

f = 3*x**2 + 2*x + 5

#高階的微分可以使用 diff(func, var, n)
print('求 y= 3*x^2 + 2x + 5的二次微分=', diff(f, x, 2))

f = -x/(x**2+4)
#求出這個曲線的反曲點，與凹凸
df2f2 = diff(f, x, 2)
print('求 y= 3*x^2 + 2x + 5的二次微分=', diff(f, x, 2))
#二階導數 = 0處，就是反曲點
print('求二階導數 = 0的解，',solve(df2f2))
#若 x <0-2*sqrt(3))，由二階導數的值正負，判別曲面上下
if diff(f, x, 2).subs(x,-2*sqrt(3)-1) <0:
    print('x <-2*sqrt(3)，二階導數的值為負，曲面向下')
else:
    print('x <-2*sqrt(3)，二階導數的值為正，曲面向上')

#若 -2*sqrt(3) <x < 0，由二階導數的值正負，判別曲面上下
if diff(f, x, 2).subs(x,-1) <0:
    print('-2*sqrt(3) <x < 0，二階導數的值為負，曲面向下')
else:
    print('-2*sqrt(3) <x < 0，二階導數的值為正，曲面向上')

#若 0 <x < 2*sqrt(3) 由二階導數的值正負，判別曲面上下
if diff(f, x, 2).subs(x,1) <0:
    print(' 0 <x < 2*sqrt(3))，二階導數的值為負，曲面向下')
else:
    print(' 0 <x < 2*sqrt(3))，二階導數的值為正，曲面向上')

#若 2*sqrt(3) < x，<由二階導數的值正負，判別曲面上下
if diff(f, x, 2).subs(x,5) <0:
    print(' 2*sqrt(3) < x，二階導數的值為負，曲面向下')
else:
    print(' 2*sqrt(3) < x，二階導數的值為正，曲面向上')

#畫出f2的線性
plot(f)