#範例12-1：求週期為∞的指數函數f(x)=exp(-x**2)的傅立葉轉換Fourier Transform
#觀念：現實的物理世界，很多波不是週期波，而是獨立波
#FT： 非週期性的連續波之傅立葉轉換語法： fourier_transform(f, x, k).doit()
#Inverse FT： 非週期性的連續波之傅立葉轉換語法： InverseFourierTransform(ft, k, x).doit()
from sympy import *
#from sympy.plotting import plot, PlotGrid
x = symbols('x')
k = symbols('k')
f = Function('f')(x)
f = exp(-x**2)

#(1).FT：傅立葉轉換
#fourier_transform(f, x, k)：表達式
#fourier_transform(f, x, k).doit()：把表達式simplify成簡約式，才能夠後續應用（例如畫圖，計算）
ft = fourier_transform(f, x, k).doit()
#print(ft)

#(2).inverse FT：反向傅立葉轉換成原始函數
#InverseFourierTransform(ft, k, x)：反向FT的表達式
#fourier_transform(f, x, k).doit()：把反向表達式simplify成簡約式，才能夠後續應用（例如畫圖，計算）
ftinverse = InverseFourierTransform(ft, k, x).doit()
#注意：若是沒有doit()，最後無法畫出圖，會出現錯誤

#(3).畫出三個子圖，比較：時域 → 頻域 → 反向時域
#sympy 畫出三個子圖的方法：使用plotting.PlotGrid(上下數目, 左右數目 , p1, p2, p3)
#sympy 顯示圖例legend的方法：若用label='FT=frequency spectrum',legend=True無法顯示
#必須另外寫p1[0].label = '$f(x)=exp(-x**2)$'，才能顯示出legend
#畫出時域：原始f(x)圖
p1 = plot(f, label='$f(x)=exp(-x**2)$', legend=True)
p1[0].label = '$f(x)=exp(-x**2)$'
#畫出頻域：FT頻譜圖
p2 = plot(ft,line_color='red', label='$FT=frequency spectrum$',legend=True)
p2[0].label = '$FT=frequency spectrum$'
#畫出反向時域
p3 = plot(ftinverse, line_color='green', label='$Inverse FT$',legend=True)
p3[0].label = '$Inverse FT$'
#在畫圖網格上分為上下三個圖
plotting.PlotGrid(3, 1 , p1, p2, p3)