#範例11-5：求週期函數Square Wave方波函數f(x)，在(-pi < x < pi)的傅立葉級數Fourier Series
#重點1：要比較這題的標準解（以Σsigma的方式表示），與由 sypmy計算的差異
#重點2：如何在sympy裡面建立Square Wave方波函數
#重點3：了解傅立葉級數模擬函數會出現的一個現象：gibbs phenomenon 吉布斯跳動現象
#重點4：如何在sympy裡，消除傅立葉級數的gibbs phenomenon吉布斯跳動
# p = Piecewise((0, x < -1), (f, x <= 1), (g, True))
#本題的方波函數square wave
#f(x) = 1， 當 0 < x < pi
#f(x) = -1， 當 -pi < x < 0

from sympy import *
x = symbols('x')
f = Function('f')(x)
#重點2：如何在sympy裡面建立Square Wave方波函數：使用分段函數Piecewise()
#語法：Piecewise((x範圍1, x>0), (x範圍2, x<0))
#語法：局部區段的設定值：Piecewise((x範圍1, (0<x) & (x<pi))
f = Piecewise((1, (0<x)&(x<pi)), (-1, (-pi<x)&(x<0)))
#plot(f)

#把方波函數轉成傅立葉級數（以(-pi < x < pi)週期）
s = fourier_series(f, (x, -pi, pi))
#只取n次級數
fs = s.truncate(n=15)
#重點3：了解傅立葉級數模擬函數會出現的一個現象：gibbs phenomenon 吉布斯跳動現象
#(1).傅立葉級數在f值不連續點(間斷處)，會出現所模擬的圖形大幅度波動現象，雖然把級數n提高，只能改善波動密度，但無法改善波動振幅
#(2).這種在不連續處的大幅度跳動，就是gibbs phenomenon 吉布斯跳動現象

#重點4：如何在sympy裡，消除傅立葉級數的gibbs phenomenon吉布斯跳動
#方法：把你的傅立葉級數，轉成sigma_approximation()，就能夠消除gibbs phenomenon吉布斯跳動
fssigma = s.sigma_approximation(15)

#畫出圖比較（fs vs fssigma）
p1 = plot(fs, fssigma, show=False)
p1[0].line_color = 'green'
p1[1].line_color = 'red'
p1[0].label = '$fourier(n=15)$'
p1[1].label = '$sigma_approximation(15)$'
p1.legend = True
p1.show()

#結果1：傅立葉級數的圖形，在斷點出，出現大幅度跳動(綠色圖)
#結果2：但是結果sigma_approximation轉換後，就可以消除gibbs phenomenon吉布斯跳動了