#範例10-3：求三次多項式的極值發生地方
#多項式函數: f(x) = x**3 - x**2 - x -1
#多項式判別判別極值的方法：
#A).泰勒級數的一次導數係數f'(x-x0) = C1 = 0，此時的x0就是極值（有兩個解，分別是極大值，與極小值）
#B）.如何判別極大值，或是極小值
#若二階導數f''(x0) >0，為正，那麼表示曲線開口向上，代表，x0處是極小值 
#若二階導數f''(x0) <0，為負，那麼表示曲線開口向下，代表，x0處是極大值
from sympy import *
from sympy.interactive import printing
printing.init_printing(use_latext=True)
x = symbols('x')
f = Function('f')(x)
f = x**3 - x**2 - x -1
#先算f'(x)一階導數
f1 = f.diff(x)
eqf1 = Eq(f1, 0)
ans = solve(eqf1, x)
x1 = ans[0]
x2 = ans[1]
print('解x1=', x1)
print('解x2=', x2)
#由反曲點=f''(x)判別開口向上，向下？
f2 = f.diff(x,2)
if f2.subs(x, x1) > 0:
    print('x1=',x1,'處，是極小值')
else:
    print('x1=',x1,'處，是極大值')
    
if f2.subs(x, x2) > 0:
    print('x2=',x2,'處，是極小值')
else:
    print('x2=',x2,'處，是極大值')
    
#畫出圖形驗證
plot(f,(x, -2, 2), line_color='red')